Definition
π er forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter: π = O / d.
Monte Carlo-laboratorium
Tilfældige forsøg, matematiske metoder og tilnærmede svar
Prøv · sammenlign · forklar
Når tilfældighed bliver til viden
Monte Carlo-metoder bruger mange tilfældige forsøg til at finde en tilnærmet løsning. Sammenlign dem med geometri, integralregning og sandsynlighedsregler.
Estimér π med punkter i en cirkel
Andelen af punkter, der lander i cirklen, nærmer sig forholdet mellem cirklens og kvadratets areal.
Tilfældige punkter
Firkant: 2 × 2 · Radius: 1Hvert punkt er et muligt udfald.0 punkter
inde i cirklenudenfor cirklen
0
0
–
–
Estimat over tidstiplet linje = Math.PI
En anden matematisk vej
π kan estimeres med geometri uden tilfældige forsøg.
Archimedes’ polygon
En indskrevet regulær polygon i en enhedscirkel giver π ≈ n · sin(π / n).
Sammenlign
Polygonmetoden er stabil for cirkler. Monte Carlo er nyttig, når området er mere komplekst end en cirkel.
| Metode | Resultat | Fordel | Begrænsning |
|---|---|---|---|
| Archimedes | – | Hurtig og systematisk for en cirkel. | Kræver en tydelig geometrisk form. |
| Monte Carlo | – | Virker også for komplekse områder. | Behøver mange forsøg for høj præcision. |
Skriv og justér Python-koden
Redigér koden. Knappen Anvend parametre læser de markerede parameterlinjer og kører dem i visualiseringen. Resten af koden kan kopieres eller hentes som et rigtigt Python-program.
Estimér arealet under en funktion
Optæl tilfældige punkter under grafen, og sammenlign med stamfunktion, trapezmetoden og Simpsons metode.
Tilfældige punkter under grafen
[0, 1]Grønne punkter tæller med i arealet.0 punkter
under grafenover grafenfunktion
0
–
–
–
Absolut fejl for tre metoderblå: MC · lilla: trapez · grøn: Simpson
En anden matematisk vej
Deterministiske metoder er ofte hurtige i ét interval; Monte Carlo er fleksibel ved komplekse modeller.
Stamfunktion / reference
Trapezmetoden
Erstatter grafen med rette linjer.
Tₙ = h · (f(x₀)/2 + … + f(xₙ)/2)
Simpsons metode
Bruger små parabler og er ofte meget præcis for glatte funktioner.
Sₙ = h/3 · [f(x₀)+4f(x₁)+…+f(xₙ)]
| Metode | Resultat | Fordel | Begrænsning |
|---|
Skriv og justér Python-koden
Redigér simuleringen og brug parameterlinjerne til at sætte funktion, interval, delintervaller og antal forsøg i laboratoriet.
Sandsynlighed og simulation
Sammenlign en præcis sandsynlighedsberegning med den observerede andel af succeser.
Kast terninger
Mindst én sekserIngen forsøg endnu.Teoretisk sandsynlighed: –
0
0
–
–
Observeret sandsynlighed over tidstiplet linje = teori
Matematisk beregning
Den samme case kan løses uden simulation, når udfaldsrummet er overskueligt.
Komplementreglen
Udfald og gunstige udfald
Hvorfor simulere?
Simulation gør variation synlig og kan bruges, når reglerne, afhængighederne eller antallet af variable gør en direkte formel vanskelig.
| Metode | Resultat | Fordel | Begrænsning |
|---|
Skriv og justér Python-koden
Brug den redigerbare Python-skabelon til at eksperimentere med parametrene og hent derefter din version som en `.py`-fil.
Skriv dit gæt, før du klikker. Hvad tror du, ændringen vil gøre?
Skift kun én indstilling ad gangen og sammenlign to metoder eller kørsler.
Beskriv både resultatet og hvorfor metoden gav netop det resultat.